Rezolvați 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Rezolvați pentru p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4p^{2}+ap+bp-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-8 b=5$$

Rescrieți 4p^{2}-3p-10 ca \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

Factor 4p în primul și 5 în al doilea grup.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Scoateți termenul comun p-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați p-2=0 și 4p+5=0.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -3 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Adunați 9 cu 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{3±13}{8} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

Împărțiți 16 la 8.

$$p=2$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{3±13}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Adunați 10 la ambele părți ale ecuației.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Scăderea -10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

Scădeți -10 din 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Împărțiți -\frac{3}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Adunați \frac{5}{2} cu \frac{9}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Factor p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Simplificați.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Adunați \frac{3}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$