Rezolvați 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Rezolvați pentru n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 11 din ambele părți.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 4n^{2}+an+bn-11. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -44 de produs.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-11 b=4$$

Rescrieți 4n^{2}-7n-11 ca \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Scoateți factorul comun n din 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Scoateți termenul comun 4n-11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 4n-11=0 și n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4n^{2}-7n=11$$

Scădeți 11 din ambele părți ale ecuației.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Scăderea 11 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -7 și c cu -11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Adunați 49 cu 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{7±15}{8} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Reduceți fracția \frac{22}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{7±15}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Împărțiți -8 la 8.

$$n=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Împărțiți -\frac{7}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Adunați \frac{11}{4} cu \frac{49}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Factorul n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Adunați \frac{7}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$