Rezolvați 4n^2-2n-2540=0

$$4 n ^ { 2 } - 2 n - 2540 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n = \frac{3 \sqrt{1129} + 1}{4} \approx 25,450446425$$

$$n=\frac{1-3\sqrt{1129}}{4}\approx -24,950446425$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4n^{2}-2n-2540=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -2 și c cu -2540 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-2540\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-2540\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-2540\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -2540.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+40640}}{2\times 4}$$

Adunați 4 cu 40640.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{40644}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 40644.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±6\sqrt{1129}}{2\times 4}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$n=\frac{2±6\sqrt{1129}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$n=\frac{2±6\sqrt{1129}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{2±6\sqrt{1129}}{8} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 6\sqrt{1129}.

$$n=\frac{6\sqrt{1129}+2}{8}$$

Împărțiți 2+6\sqrt{1129} la 8.

$$n=\frac{3\sqrt{1129}+1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{2±6\sqrt{1129}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{1129} din 2.

$$n=\frac{2-6\sqrt{1129}}{8}$$

Împărțiți 2-6\sqrt{1129} la 8.

$$n=\frac{1-3\sqrt{1129}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{3\sqrt{1129}+1}{4} n=\frac{1-3\sqrt{1129}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-2n-2540=0$$

Adunați 2540 la ambele părți ale ecuației.

$$4n^{2}-2n-2540-\left(-2540\right)=-\left(-2540\right)$$

Scăderea -2540 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4n^{2}-2n=-\left(-2540\right)$$

Scădeți -2540 din 0.

$$4n^{2}-2n=2540$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4n^{2}-2n}{4}=\frac{2540}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$n^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)n=\frac{2540}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n=\frac{2540}{4}$$

Împărțiți 2540 la 4.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n=635$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=635+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}=635+\frac{1}{16}$$

Adunați 635 cu \frac{1}{16}.

$$n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}=\frac{10161}{16}$$

Factor n^{2}-\frac{1}{2}n+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{10161}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10161}{16}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{1129}}{4} n-\frac{1}{4}=-\frac{3\sqrt{1129}}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{3\sqrt{1129}+1}{4} n=\frac{1-3\sqrt{1129}}{4}$$