Rezolvați 4k^2-4k-3

$$4 k ^ { 2 } - 4 k - 3$$

Descompunere în factori

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4k^{2}+ak+bk-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-6 b=2$$

Rescrieți 4k^{2}-4k-3 ca \left(4k^{2}-6k\right)+\left(2k-3\right).

$$\left(4k^{2}-6k\right)+\left(2k-3\right)$$

Scoateți factorul comun 2k din 4k^{2}-6k.

$$2k\left(2k-3\right)+2k-3$$

Scoateți termenul comun 2k-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -3.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 48.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$k=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{4±8}{8} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 8.

$$k=\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$k=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{4±8}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 4.

$$k=-\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$k=-\frac{1}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{2} și x_{2} cu -\frac{1}{2}.

$$4k^{2}-4k-3=4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$4k^{2}-4k-3=4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

Scădeți \frac{3}{2} din k găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{2k-3}{2}\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

Adunați \frac{1}{2} cu k găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{2k-3}{2}\times \frac{2k+1}{2}$$

Înmulțiți \frac{2k-3}{2} cu \frac{2k+1}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$4k^{2}-4k-3=4\times \frac{\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 4 și 4.

$$4k^{2}-4k-3=\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$

Evaluați

$$\left(2k-3\right)\left(2k+1\right)$$