Rezolvați 4d^2+36d+81

$$4 d ^ { 2 } + 36 d + 81$$

Descompunere în factori

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4d^{2}+ad+bd+81. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=36 ab=4\times 81=324$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Soluția este perechea care dă suma de 36.

$$a=18 b=18$$

Rescrieți 4d^{2}+36d+81 ca \left(4d^{2}+18d\right)+\left(18d+81\right).

$$\left(4d^{2}+18d\right)+\left(18d+81\right)$$

Factor 2d în primul și 9 în al doilea grup.

$$2d\left(2d+9\right)+9\left(2d+9\right)$$

Scoateți termenul comun 2d+9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(4d^{2}+36d+81)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(4,36,81)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 4d^{2}.

$$\sqrt{4d^{2}}=2d$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 81.

$$\sqrt{81}=9$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4d^{2}+36d+81=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$d=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

Ridicați 36 la pătrat.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-16\times 81}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 81.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 4}$$

Adunați 1296 cu -1296.

$$d=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$d=\frac{-36±0}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$d=\frac{-36±0}{8}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{9}{2} și x_{2} cu -\frac{9}{2}.

$$4d^{2}+36d+81=4\left(d-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)\left(d-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$4d^{2}+36d+81=4\left(d+\frac{9}{2}\right)\left(d+\frac{9}{2}\right)$$

Adunați \frac{9}{2} cu d găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{2d+9}{2}\left(d+\frac{9}{2}\right)$$

Adunați \frac{9}{2} cu d găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{2d+9}{2}\times \frac{2d+9}{2}$$

Înmulțiți \frac{2d+9}{2} cu \frac{2d+9}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 4 și 4.

$$4d^{2}+36d+81=\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)$$

Evaluați

$$\left(2d+9\right)^{2}$$