Rezolvați 4-8/3x+1=3x^2+5/3x+1

$$4 - \frac { 8 } { 3 x + 1 } = \frac { 3 x ^ { 2 } + 5 } { 3 x + 1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{1}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x+1.

$$\left(3x+1\right)\times 4-8=3x^{2}+5$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+1 cu 4.

$$12x+4-8=3x^{2}+5$$

Scădeți 8 din 4 pentru a obține -4.

$$12x-4=3x^{2}+5$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$12x-4-3x^{2}=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$12x-4-3x^{2}-5=0$$

Scădeți 5 din -4 pentru a obține -9.

$$12x-9-3x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$4x-3-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+4x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=3 b=1$$

Rescrieți -x^{2}+4x-3 ca \left(-x^{2}+3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(x-3\right)$$

Scoateți factorul comun -x din -x^{2}+3x.

$$-x\left(x-3\right)+x-3$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(-x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-3=0 și -x+1=0.

$$x=3 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{1}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x+1.

$$\left(3x+1\right)\times 4-8=3x^{2}+5$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+1 cu 4.

$$12x+4-8=3x^{2}+5$$

Scădeți 8 din 4 pentru a obține -4.

$$12x-4=3x^{2}+5$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$12x-4-3x^{2}=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$12x-4-3x^{2}-5=0$$

Scădeți 5 din -4 pentru a obține -9.

$$12x-9-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+12x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 12 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-3\right)\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-3\right)\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+12\left(-9\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 144 cu -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-12±6}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±6}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 6.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Împărțiți -6 la -6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±6}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din -12.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Împărțiți -18 la -6.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu -\frac{1}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 3x+1.

$$\left(3x+1\right)\times 4-8=3x^{2}+5$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+1 cu 4.

$$12x+4-8=3x^{2}+5$$

Scădeți 8 din 4 pentru a obține -4.

$$12x-4=3x^{2}+5$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$12x-4-3x^{2}=5$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$12x-3x^{2}=5+4$$

Adunați 5 și 4 pentru a obține 9.

$$12x-3x^{2}=9$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+12x=9$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+12x}{-3}=\frac{9}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{12}{-3}x=\frac{9}{-3}$$

Împărțiți 12 la -3.

$$x^{2}-4x=\frac{9}{-3}$$

Împărțiți 9 la -3.

$$x^{2}-4x=-3$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Adunați -3 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Factorul x^{2}-4x+4. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=1$$