Rezolvați 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x^{2}+4 cu 2x^{2}+1 și a combina termenii similari.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Scădeți 5x^{4} din ambele părți.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Combinați 8x^{4} cu -5x^{4} pentru a obține 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Adăugați 10x^{2} la ambele părți.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Combinați 12x^{2} cu 10x^{2} pentru a obține 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Scădeți 5 din 4 pentru a obține -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Înlocuiți x^{2} cu t.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 3, b cu 22 și c cu -1.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

De la x=t^{2}, soluțiile sunt obținute prin evaluarea x=±\sqrt{t} pentru fiecare t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x^{2}+4 cu 2x^{2}+1 și a combina termenii similari.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Scădeți 5x^{4} din ambele părți.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Combinați 8x^{4} cu -5x^{4} pentru a obține 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Adăugați 10x^{2} la ambele părți.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Combinați 12x^{2} cu 10x^{2} pentru a obține 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Scădeți 5 din 4 pentru a obține -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Înlocuiți x^{2} cu t.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 3, b cu 22 și c cu -1.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

De la x=t^{2}, soluțiile sunt obținute prin evaluarea x=±\sqrt{t} pentru t pozitive.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$