Rezolvați 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Scădeți 169 din 4 pentru a obține -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-165. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=-22 b=30$$

Rescrieți 4x^{2}+8x-165 ca \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Factor 2x în primul și 15 în al doilea grup.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-11=0 și 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Scădeți 169 din 4 pentru a obține -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 8 și c cu -165 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Adunați 64 cu 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±52}{8} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Reduceți fracția \frac{44}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±52}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 52 din -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-60}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Scădeți 169 din 4 pentru a obține -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Adăugați 165 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$4x^{2}+8x=165$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Împărțiți 8 la 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Adunați \frac{165}{4} cu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplificați.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$