Rezolvați 4(2x-13)^2-9(2x-13)+2=0

$$4 ( 2 x - 13 ) ^ { 2 } - 9 ( 2 x - 13 ) + 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{53}{8} = 6\frac{5}{8} = 6,625$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-13\right)^{2}.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 4x^{2}-52x+169.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -9 cu 2x-13.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Combinați -208x cu -18x pentru a obține -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Adunați 676 și 117 pentru a obține 793.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Adunați 793 și 2 pentru a obține 795.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 16, b cu -226 și c cu 795 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{\left(-226\right)^{2}-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Ridicați -226 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -4 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-64\times 795}}{2\times 16}$$

Înmulțiți -64 cu 795.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-50880}}{2\times 16}$$

Adunați 51076 cu -50880.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{196}}{2\times 16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±14}{2\times 16}$$

Opusul lui -226 este 226.

$$x=\frac{226±14}{2\times 16}$$

Înmulțiți 2 cu 16.

$$x=\frac{226±14}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{226±14}{32} atunci când ± este plus. Adunați 226 cu 14.

$$x=\frac{240}{32}$$

Reduceți fracția \frac{240}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x=\frac{15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{226±14}{32} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din 226.

$$x=\frac{212}{32}$$

Reduceți fracția \frac{212}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{53}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x-13\right)^{2}.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 4x^{2}-52x+169.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -9 cu 2x-13.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Combinați -208x cu -18x pentru a obține -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Adunați 676 și 117 pentru a obține 793.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Adunați 793 și 2 pentru a obține 795.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Scădeți 795 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$16x^{2}-226x=-795$$

Se împart ambele părți la 16.

$$\frac{16x^{2}-226x}{16}=-\frac{795}{16}$$

Împărțirea la 16 anulează înmulțirea cu 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{226}{16}\right)x=-\frac{795}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-226}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x=-\frac{795}{16}$$

Împărțiți -\frac{113}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{113}{16}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{113}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}=-\frac{795}{16}+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{113}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=-\frac{795}{16}+\frac{12769}{256}$$

Adunați -\frac{795}{16} cu \frac{12769}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=\frac{49}{256}$$

Factor x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{113}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{113}{16}=-\frac{7}{16}$$

Adunați \frac{113}{16} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$