Rezolvați 4y^2-21y+5

$$4 { y }^{ 2 } -21y+5$$

Descompunere în factori

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4y^{2}+ay+by+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-21 ab=4\times 5=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -21.

$$a=-20 b=-1$$

Rescrieți 4y^{2}-21y+5 ca \left(4y^{2}-20y\right)+\left(-y+5\right).

$$\left(4y^{2}-20y\right)+\left(-y+5\right)$$

Factor 4y în primul și -1 în al doilea grup.

$$4y\left(y-5\right)-\left(y-5\right)$$

Scoateți termenul comun y-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-21y+5=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Ridicați -21 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-16\times 5}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 5.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-80}}{2\times 4}$$

Adunați 441 cu -80.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$y=\frac{-\left(-21\right)±19}{2\times 4}$$

Opusul lui -21 este 21.

$$y=\frac{21±19}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$y=\frac{21±19}{8}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{21±19}{8} atunci când ± este plus. Adunați 21 cu 19.

$$y=\frac{40}{8}$$

Împărțiți 40 la 8.

$$y=5$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{21±19}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din 21.

$$y=\frac{2}{8}$$

Reduceți fracția \frac{2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 5 și x_{2} cu \frac{1}{4}.

$$4y^{2}-21y+5=4\left(y-5\right)\left(y-\frac{1}{4}\right)$$

Scădeți \frac{1}{4} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4y^{2}-21y+5=4\left(y-5\right)\times \frac{4y-1}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 4 și 4.

$$4y^{2}-21y+5=\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$

Evaluați

$$\left(y-5\right)\left(4y-1\right)$$