Rezolvați 4x^2-7x-2

$$4 { x }^{ 2 } -7x-2$$

Descompunere în factori

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -8 de produs.

$$1,-8 2,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-8 b=1$$

Rescrieți 4x^{2}-7x-2 ca \left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)$$

Scoateți factorul comun 4x din 4x^{2}-8x.

$$4x\left(x-2\right)+x-2$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-7x-2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Adunați 49 cu 32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\times 4}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±9}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{7±9}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±9}{8} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 9.

$$x=\frac{16}{8}$$

Împărțiți 16 la 8.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±9}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 7.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 2 și x_{2} cu -\frac{1}{4}.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Adunați \frac{1}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 4 și 4.

$$4x^{2}-7x-2=\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Evaluați

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$