Rezolvați 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0,625+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0,625-1,452368755i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -5 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Adunați 25 cu -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -135.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 3i\sqrt{15} din 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Adunați -\frac{5}{2} cu \frac{25}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Adunați \frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$