Rezolvați 4x^2-4x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-6 b=2$$

Rescrieți 4x^{2}-4x-3 ca \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 4x^{2}-6x.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-3=0 și 2x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -4 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±8}{8} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 8.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±8}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$4x^{2}-4x=3$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$