Rezolvați 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -4 și c cu -16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Împărțiți 4+4\sqrt{17} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{17} din 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Împărțiți 4-4\sqrt{17} la 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Adunați 16 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Scăderea -16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Scădeți -16 din 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Împărțiți 16 la 4.

$$x^{2}-x=4$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Adunați 4 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$