Rezolvați 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-10 b=6$$

Rescrieți 4x^{2}-4x-15 ca \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-5=0 și 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -4 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±16}{8} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Reduceți fracția \frac{20}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±16}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Scădeți -15 din 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Adunați \frac{15}{4} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$