Rezolvați 4x^2-2x+7=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x+7=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4}\approx 0,25+1,299038106i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}\approx 0,25-1,299038106i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-2x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -2 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 7}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-112}}{2\times 4}$$

Adunați 4 cu -112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-108}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±6\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{2±6\sqrt{3}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±6\sqrt{3}i}{8} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 6i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+6\sqrt{3}i}{8}$$

Împărțiți 2+6i\sqrt{3} la 8.

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±6\sqrt{3}i}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 6i\sqrt{3} din 2.

$$x=\frac{-6\sqrt{3}i+2}{8}$$

Împărțiți 2-6i\sqrt{3} la 8.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-2x+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-2x=-7$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{7}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{7}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{7}{4}$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{7}{4}+\frac{1}{16}$$

Adunați -\frac{7}{4} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{27}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{27}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{3}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3\sqrt{3}i}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}$$