Rezolvați 4x^2-28x+149=0

$$4 { x }^{ 2 } -28x+149 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{7}{2}+5i=3,5+5i$$

$$x=\frac{7}{2}-5i=3,5-5i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-28x+149=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -28 și c cu 149 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 149}}{2\times 4}$$

Ridicați -28 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 149}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 149}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 149.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-2384}}{2\times 4}$$

Adunați 784 cu -2384.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{-1600}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -1600.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±40i}{2\times 4}$$

Opusul lui -28 este 28.

$$x=\frac{28±40i}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{28±40i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{28±40i}{8} atunci când ± este plus. Adunați 28 cu 40i.

$$x=\frac{28+40i}{8}$$

Împărțiți 28+40i la 8.

$$x=\frac{7}{2}+5i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{28±40i}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 40i din 28.

$$x=\frac{28-40i}{8}$$

Împărțiți 28-40i la 8.

$$x=\frac{7}{2}-5i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{7}{2}+5i x=\frac{7}{2}-5i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-28x+149=0$$

Scădeți 149 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-28x+149-149=-149$$

Scăderea 149 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-28x=-149$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-28x}{4}=-\frac{149}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)x=-\frac{149}{4}$$

Împărțiți -28 la 4.

$$x^{2}-7x=-\frac{149}{4}$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{149}{4}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{-149+49}{4}$$

Adunați -\frac{149}{4} cu \frac{49}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-25$$

Factor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=-25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{2}=5i x-\frac{7}{2}=-5i$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{7}{2}+5i x=\frac{7}{2}-5i$$