Rezolvați 4x^2-16x+20=0

$$4 { x }^{ 2 } -16x+20=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=2+i$$

$$x=2-i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-16x+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -16 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 20}}{2\times 4}$$

Ridicați -16 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 20}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 20}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-320}}{2\times 4}$$

Adunați 256 cu -320.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8i}{2\times 4}$$

Opusul lui -16 este 16.

$$x=\frac{16±8i}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{16±8i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{16±8i}{8} atunci când ± este plus. Adunați 16 cu 8i.

$$x=\frac{16+8i}{8}$$

Împărțiți 16+8i la 8.

$$x=2+i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{16±8i}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 8i din 16.

$$x=\frac{16-8i}{8}$$

Împărțiți 16-8i la 8.

$$x=2-i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2+i x=2-i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-16x+20=0$$

Scădeți 20 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-16x+20-20=-20$$

Scăderea 20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-16x=-20$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-16x}{4}=-\frac{20}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{4}\right)x=-\frac{20}{4}$$

Împărțiți -16 la 4.

$$x^{2}-4x=-\frac{20}{4}$$

Împărțiți -20 la 4.

$$x^{2}-4x=-5$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-5+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=-5+4$$

Adunați -5 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=-1$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Simplificați.

$$x-2=i x-2=-i$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=2+i x=2-i$$