Rezolvați 4x^2-11x-3

$$4 { x }^{ 2 } -11x-3$$

Descompunere în factori

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-12 b=1$$

Rescrieți 4x^{2}-11x-3 ca \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Scoateți factorul comun 4x din 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+48}}{2\times 4}$$

Adunați 121 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±13}{2\times 4}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±13}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{11±13}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±13}{8} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 13.

$$x=\frac{24}{8}$$

Împărțiți 24 la 8.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±13}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 11.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 3 și x_{2} cu -\frac{1}{4}.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Adunați \frac{1}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 4 și 4.

$$4x^{2}-11x-3=\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Evaluați

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$