Rezolvați 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 120 din ambele părți.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-5 b=6$$

Rescrieți x^{2}+x-30 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+4x=120$$

Scădeți 120 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Scăderea 120 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 4 și c cu -120 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±44}{8} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Împărțiți 40 la 8.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±44}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 44 din -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Împărțiți -48 la 8.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Împărțiți 120 la 4.

$$x^{2}+x=30$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Adunați 30 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-6$$