Rezolvați 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+4x=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 4 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Împărțiți -4+4\sqrt{2} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{2} din -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Împărțiți -4-4\sqrt{2} la 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$