Rezolvați 4x^2+19x-30

$$4 { x }^{ 2 } +19x-30$$

Descompunere în factori

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=19 ab=4\left(-30\right)=-120$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -120 de produs.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 19.

$$a=-5 b=24$$

Rescrieți 4x^{2}+19x-30 ca \left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 6 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(4x-5\right)+6\left(4x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+19x-30=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 19 la pătrat.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-16\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -30.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+480}}{2\times 4}$$

Adunați 361 cu 480.

$$x=\frac{-19±\sqrt{841}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 841.

$$x=\frac{-19±29}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-19±29}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-19±29}{8} atunci când ± este plus. Adunați -19 cu 29.

$$x=\frac{10}{8}$$

Reduceți fracția \frac{10}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-19±29}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 29 din -19.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Împărțiți -48 la 8.

$$x=-6$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{5}{4} și x_{2} cu -6.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x+6\right)$$

Scădeți \frac{5}{4} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4x^{2}+19x-30=4\times \frac{4x-5}{4}\left(x+6\right)$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 4 și 4.

$$4x^{2}+19x-30=\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Evaluați

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$