Rezolvați 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Rezolvați pentru t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 1 din ambele părți.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 4t^{2}+at+bt-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -4 de produs.

$$-1,4 -2,2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-1 b=4$$

Rescrieți 4t^{2}+3t-1 ca \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Scoateți factorul comun t din 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Scoateți termenul comun 4t-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 4t-1=0 și t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4t^{2}+3t=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 3 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Adunați 9 cu 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-3±5}{8} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Reduceți fracția \frac{2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-3±5}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Împărțiți -8 la 8.

$$t=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Împărțiți \frac{3}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Adunați \frac{1}{4} cu \frac{9}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Factorul t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Scădeți \frac{3}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$