Rezolvați 3x-5x^2=3

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0,3-0,714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0,3+0,714142843i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 3 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 9 cu -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

Împărțiți -3+i\sqrt{51} la -10.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{51} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

Împărțiți -3-i\sqrt{51} la -10.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

Împărțiți 3 la -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

Împărțiți 3 la -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Împărțiți -\frac{3}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

Adunați -\frac{3}{5} cu \frac{9}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

Factorul x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

Adunați \frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$