Rezolvați 3x+3=x^2+4x+5

$$3x+3= { x }^{ 2 } +4x+5$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0,5+1,322875656i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Combinați 3x cu -4x pentru a obține -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$-x+3-x^{2}-5=0$$

Scădeți 5 din 3 pentru a obține -2.

$$-x-2-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -1 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu i\sqrt{7}.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{-2}$$

Împărțiți 1+i\sqrt{7} la -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{7} din 1.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{-2}$$

Împărțiți 1-i\sqrt{7} la -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Combinați 3x cu -4x pentru a obține -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$-x-x^{2}=5-3$$

Scădeți 3 din 5 pentru a obține 2.

$$-x-x^{2}=2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x=2$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți -1 la -1.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}+x=-2$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Adunați -2 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$