Rezolvați 3x=sqrt{x^2+6}-4

$$3x = \sqrt{ { x }^{ 2 } +6 } -4$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pașii soluției

Scădeți -4 din ambele părți ale ecuației.

$$3x+4=\sqrt{x^{2}+6}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(3x+4\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+4\right)^{2}.

$$9x^{2}+24x+16=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{2}+6} la puterea 2 și obțineți x^{2}+6.

$$9x^{2}+24x+16=x^{2}+6$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$9x^{2}+24x+16-x^{2}=6$$

Combinați 9x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 8x^{2}.

$$8x^{2}+24x+16=6$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$8x^{2}+24x+16-6=0$$

Scădeți 6 din 16 pentru a obține 10.

$$8x^{2}+24x+10=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 12.

$$a=2 b=10$$

Rescrieți 4x^{2}+12x+5 ca \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Factor 2x în primul și 5 în al doilea grup.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x+1=0 și 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Înlocuiți x cu -\frac{1}{2} în ecuația 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{1}{2} corespunde ecuației.

$$-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Înlocuiți x cu -\frac{5}{2} în ecuația 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Simplificați. Valoarea x=-\frac{5}{2} nu respectă ecuația.

$$-\frac{15}{2}=-\frac{1}{2}$$

Ecuația 3x+4=\sqrt{x^{2}+6} are o soluție unică.

$$x=-\frac{1}{2}$$