Rezolvați 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 39x^{2}+ax+bx-9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=-13 b=27$$

Rescrieți 39x^{2}+14x-9 ca \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Factor 13x în primul și 9 în al doilea grup.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-1=0 și 13x+9=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 39, b cu 14 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Ridicați 14 la pătrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Înmulțiți -4 cu 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Înmulțiți -156 cu -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Adunați 196 cu 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Înmulțiți 2 cu 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±40}{78} atunci când ± este plus. Adunați -14 cu 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Reduceți fracția \frac{26}{78} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±40}{78} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Reduceți fracția \frac{-54}{78} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Se împart ambele părți la 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

Împărțirea la 39 anulează înmulțirea cu 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Reduceți fracția \frac{9}{39} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Împărțiți \frac{14}{39}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{39}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{39} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{39} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Adunați \frac{3}{13} cu \frac{49}{1521} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Factor x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Scădeți \frac{7}{39} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$