Rezolvați 38706x^2-41070x+9027=0

$$38706 x ^ { 2 } - 41070 x + 9027 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{8031907}+6845}{12902}\approx 0,750198568$$

$$x=\frac{6845-\sqrt{8031907}}{12902}\approx 0,310877234$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$38706x^{2}-41070x+9027=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 38706, b cu -41070 și c cu 9027 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{\left(-41070\right)^{2}-4\times 38706\times 9027}}{2\times 38706}$$

Ridicați -41070 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{1686744900-4\times 38706\times 9027}}{2\times 38706}$$

Înmulțiți -4 cu 38706.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{1686744900-154824\times 9027}}{2\times 38706}$$

Înmulțiți -154824 cu 9027.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{1686744900-1397596248}}{2\times 38706}$$

Adunați 1686744900 cu -1397596248.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{289148652}}{2\times 38706}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289148652.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±6\sqrt{8031907}}{2\times 38706}$$

Opusul lui -41070 este 41070.

$$x=\frac{41070±6\sqrt{8031907}}{2\times 38706}$$

Înmulțiți 2 cu 38706.

$$x=\frac{41070±6\sqrt{8031907}}{77412}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{41070±6\sqrt{8031907}}{77412} atunci când ± este plus. Adunați 41070 cu 6\sqrt{8031907}.

$$x=\frac{6\sqrt{8031907}+41070}{77412}$$

Împărțiți 41070+6\sqrt{8031907} la 77412.

$$x=\frac{\sqrt{8031907}+6845}{12902}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{41070±6\sqrt{8031907}}{77412} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{8031907} din 41070.

$$x=\frac{41070-6\sqrt{8031907}}{77412}$$

Împărțiți 41070-6\sqrt{8031907} la 77412.

$$x=\frac{6845-\sqrt{8031907}}{12902}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{8031907}+6845}{12902} x=\frac{6845-\sqrt{8031907}}{12902}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$38706x^{2}-41070x+9027=0$$

Scădeți 9027 din ambele părți ale ecuației.

$$38706x^{2}-41070x+9027-9027=-9027$$

Scăderea 9027 din el însuși are ca rezultat 0.

$$38706x^{2}-41070x=-9027$$

Se împart ambele părți la 38706.

$$\frac{38706x^{2}-41070x}{38706}=-\frac{9027}{38706}$$

Împărțirea la 38706 anulează înmulțirea cu 38706.

$$x^{2}+\left(-\frac{41070}{38706}\right)x=-\frac{9027}{38706}$$

Reduceți fracția \frac{-41070}{38706} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x=-\frac{9027}{38706}$$

Reduceți fracția \frac{-9027}{38706} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x=-\frac{3009}{12902}$$

Împărțiți -\frac{6845}{6451}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{6845}{12902}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{6845}{12902} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x+\left(-\frac{6845}{12902}\right)^{2}=-\frac{3009}{12902}+\left(-\frac{6845}{12902}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{6845}{12902} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x+\frac{46854025}{166461604}=-\frac{3009}{12902}+\frac{46854025}{166461604}$$

Adunați -\frac{3009}{12902} cu \frac{46854025}{166461604} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x+\frac{46854025}{166461604}=\frac{8031907}{166461604}$$

Factor x^{2}-\frac{6845}{6451}x+\frac{46854025}{166461604}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6845}{12902}\right)^{2}=\frac{8031907}{166461604}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6845}{12902}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8031907}{166461604}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{6845}{12902}=\frac{\sqrt{8031907}}{12902} x-\frac{6845}{12902}=-\frac{\sqrt{8031907}}{12902}$$

Adunați \frac{6845}{12902} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{8031907}+6845}{12902} x=\frac{6845-\sqrt{8031907}}{12902}$$