Rezolvați 37x^2-70x+25=0

$$37 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{10 \sqrt{3} + 35}{37} \approx 1,414067786$$

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}\approx 0,477824106$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 37, b cu -70 și c cu 25 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Ridicați -70 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Înmulțiți -4 cu 37.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-148\times 25}}{2\times 37}$$

Înmulțiți -148 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-3700}}{2\times 37}$$

Adunați 4900 cu -3700.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{1200}}{2\times 37}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1200.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Opusul lui -70 este 70.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Înmulțiți 2 cu 37.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} atunci când ± este plus. Adunați 70 cu 20\sqrt{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{3}+70}{74}$$

Împărțiți 70+20\sqrt{3} la 74.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} atunci când ± este minus. Scădeți 20\sqrt{3} din 70.

$$x=\frac{70-20\sqrt{3}}{74}$$

Împărțiți 70-20\sqrt{3} la 74.

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Scădeți 25 din ambele părți ale ecuației.

$$37x^{2}-70x+25-25=-25$$

Scăderea 25 din el însuși are ca rezultat 0.

$$37x^{2}-70x=-25$$

Se împart ambele părți la 37.

$$\frac{37x^{2}-70x}{37}=-\frac{25}{37}$$

Împărțirea la 37 anulează înmulțirea cu 37.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x=-\frac{25}{37}$$

Împărțiți -\frac{70}{37}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{35}{37}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{35}{37} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}=-\frac{25}{37}+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{35}{37} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=-\frac{25}{37}+\frac{1225}{1369}$$

Adunați -\frac{25}{37} cu \frac{1225}{1369} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=\frac{300}{1369}$$

Factor x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}=\frac{300}{1369}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300}{1369}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{35}{37}=\frac{10\sqrt{3}}{37} x-\frac{35}{37}=-\frac{10\sqrt{3}}{37}$$

Adunați \frac{35}{37} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$