Rezolvați 36x^2-17x-35=0

$$36 x ^ { 2 } - 17 x - 35 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{7}{9}\approx -0,777777778$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 36x^{2}+ax+bx-35. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-17 ab=36\left(-35\right)=-1260$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1260.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -17.

$$a=-45 b=28$$

Rescrieți 36x^{2}-17x-35 ca \left(36x^{2}-45x\right)+\left(28x-35\right).

$$\left(36x^{2}-45x\right)+\left(28x-35\right)$$

Factor 9x în primul și 7 în al doilea grup.

$$9x\left(4x-5\right)+7\left(4x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-5\right)\left(9x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-5=0 și 9x+7=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{7}{9}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$36x^{2}-17x-35=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 36, b cu -17 și c cu -35 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 36\left(-35\right)}}{2\times 36}$$

Ridicați -17 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 36\left(-35\right)}}{2\times 36}$$

Înmulțiți -4 cu 36.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-144\left(-35\right)}}{2\times 36}$$

Înmulțiți -144 cu -35.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+5040}}{2\times 36}$$

Adunați 289 cu 5040.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{5329}}{2\times 36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 5329.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±73}{2\times 36}$$

Opusul lui -17 este 17.

$$x=\frac{17±73}{2\times 36}$$

Înmulțiți 2 cu 36.

$$x=\frac{17±73}{72}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{17±73}{72} atunci când ± este plus. Adunați 17 cu 73.

$$x=\frac{90}{72}$$

Reduceți fracția \frac{90}{72} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 18.

$$x=\frac{5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{17±73}{72} atunci când ± este minus. Scădeți 73 din 17.

$$x=-\frac{56}{72}$$

Reduceți fracția \frac{-56}{72} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{7}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{7}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$36x^{2}-17x-35=0$$

Adunați 35 la ambele părți ale ecuației.

$$36x^{2}-17x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Scăderea -35 din el însuși are ca rezultat 0.

$$36x^{2}-17x=-\left(-35\right)$$

Scădeți -35 din 0.

$$36x^{2}-17x=35$$

Se împart ambele părți la 36.

$$\frac{36x^{2}-17x}{36}=\frac{35}{36}$$

Împărțirea la 36 anulează înmulțirea cu 36.

$$x^{2}-\frac{17}{36}x=\frac{35}{36}$$

Împărțiți -\frac{17}{36}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{17}{72}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{17}{72} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{17}{36}x+\left(-\frac{17}{72}\right)^{2}=\frac{35}{36}+\left(-\frac{17}{72}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{17}{72} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{17}{36}x+\frac{289}{5184}=\frac{35}{36}+\frac{289}{5184}$$

Adunați \frac{35}{36} cu \frac{289}{5184} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{17}{36}x+\frac{289}{5184}=\frac{5329}{5184}$$

Factor x^{2}-\frac{17}{36}x+\frac{289}{5184}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{72}\right)^{2}=\frac{5329}{5184}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{72}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{5184}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{17}{72}=\frac{73}{72} x-\frac{17}{72}=-\frac{73}{72}$$

Adunați \frac{17}{72} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{7}{9}$$