Rezolvați 36+121c^2-132c=

$$36 + 121 c ^ { 2 } - 132 c =$$

Descompunere în factori

$$\left(11c-6\right)^{2}$$

Pașii soluției

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$121c^{2}-132c+36$$

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 121c^{2}+ac+bc+36. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-132 ab=121\times 36=4356$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 4356.

$$-1,-4356 -2,-2178 -3,-1452 -4,-1089 -6,-726 -9,-484 -11,-396 -12,-363 -18,-242 -22,-198 -33,-132 -36,-121 -44,-99 -66,-66$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4356=-4357 -2-2178=-2180 -3-1452=-1455 -4-1089=-1093 -6-726=-732 -9-484=-493 -11-396=-407 -12-363=-375 -18-242=-260 -22-198=-220 -33-132=-165 -36-121=-157 -44-99=-143 -66-66=-132$$

Soluția este perechea care dă suma de -132.

$$a=-66 b=-66$$

Rescrieți 121c^{2}-132c+36 ca \left(121c^{2}-66c\right)+\left(-66c+36\right).

$$\left(121c^{2}-66c\right)+\left(-66c+36\right)$$

Factor 11c în primul și -6 în al doilea grup.

$$11c\left(11c-6\right)-6\left(11c-6\right)$$

Scoateți termenul comun 11c-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(11c-6\right)\left(11c-6\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(11c-6\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(121c^{2}-132c+36)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(121,-132,36)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 121c^{2}.

$$\sqrt{121c^{2}}=11c$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 36.

$$\sqrt{36}=6$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(11c-6\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$121c^{2}-132c+36=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$c=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{\left(-132\right)^{2}-4\times 121\times 36}}{2\times 121}$$

Ridicați -132 la pătrat.

$$c=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{17424-4\times 121\times 36}}{2\times 121}$$

Înmulțiți -4 cu 121.

$$c=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{17424-484\times 36}}{2\times 121}$$

Înmulțiți -484 cu 36.

$$c=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{17424-17424}}{2\times 121}$$

Adunați 17424 cu -17424.

$$c=\frac{-\left(-132\right)±\sqrt{0}}{2\times 121}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$c=\frac{-\left(-132\right)±0}{2\times 121}$$

Opusul lui -132 este 132.

$$c=\frac{132±0}{2\times 121}$$

Înmulțiți 2 cu 121.

$$c=\frac{132±0}{242}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{6}{11} și x_{2} cu \frac{6}{11}.

$$121c^{2}-132c+36=121\left(c-\frac{6}{11}\right)\left(c-\frac{6}{11}\right)$$

Scădeți \frac{6}{11} din c găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$121c^{2}-132c+36=121\times \frac{11c-6}{11}\left(c-\frac{6}{11}\right)$$

Scădeți \frac{6}{11} din c găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$121c^{2}-132c+36=121\times \frac{11c-6}{11}\times \frac{11c-6}{11}$$

Înmulțiți \frac{11c-6}{11} cu \frac{11c-6}{11} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$121c^{2}-132c+36=121\times \frac{\left(11c-6\right)\left(11c-6\right)}{11\times 11}$$

Înmulțiți 11 cu 11.

$$121c^{2}-132c+36=121\times \frac{\left(11c-6\right)\left(11c-6\right)}{121}$$

Simplificați cu 121, cel mai mare factor comun din 121 și 121.

$$121c^{2}-132c+36=\left(11c-6\right)\left(11c-6\right)$$

Evaluați

$$\left(11c-6\right)^{2}$$