Rezolvați 32x^2-80x+48=0

$$32 { x }^{ 2 } -80x+48=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$32x^{2}-80x+48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 32, b cu -80 și c cu 48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 32\times 48}}{2\times 32}$$

Ridicați -80 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 32\times 48}}{2\times 32}$$

Înmulțiți -4 cu 32.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-128\times 48}}{2\times 32}$$

Înmulțiți -128 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6144}}{2\times 32}$$

Adunați 6400 cu -6144.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{256}}{2\times 32}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±16}{2\times 32}$$

Opusul lui -80 este 80.

$$x=\frac{80±16}{2\times 32}$$

Înmulțiți 2 cu 32.

$$x=\frac{80±16}{64}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{80±16}{64} atunci când ± este plus. Adunați 80 cu 16.

$$x=\frac{96}{64}$$

Reduceți fracția \frac{96}{64} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 32.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{80±16}{64} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din 80.

$$x=\frac{64}{64}$$

Împărțiți 64 la 64.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$32x^{2}-80x+48=0$$

Scădeți 48 din ambele părți ale ecuației.

$$32x^{2}-80x+48-48=-48$$

Scăderea 48 din el însuși are ca rezultat 0.

$$32x^{2}-80x=-48$$

Se împart ambele părți la 32.

$$\frac{32x^{2}-80x}{32}=-\frac{48}{32}$$

Împărțirea la 32 anulează înmulțirea cu 32.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{32}\right)x=-\frac{48}{32}$$

Reduceți fracția \frac{-80}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{48}{32}$$

Reduceți fracția \frac{-48}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați -\frac{3}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$