Rezolvați 32x^2+250x-1925=0

$$32 { x }^{ 2 } +250x-1925=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5 \sqrt{3089} - 125}{32} \approx 4,77793327$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}\approx -12,59043327$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 32, b cu 250 și c cu -1925 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Ridicați 250 la pătrat.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Înmulțiți -4 cu 32.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-128\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Înmulțiți -128 cu -1925.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+246400}}{2\times 32}$$

Adunați 62500 cu 246400.

$$x=\frac{-250±\sqrt{308900}}{2\times 32}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 308900.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{2\times 32}$$

Înmulțiți 2 cu 32.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64} atunci când ± este plus. Adunați -250 cu 10\sqrt{3089}.

$$x=\frac{10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Împărțiți -250+10\sqrt{3089} la 64.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64} atunci când ± este minus. Scădeți 10\sqrt{3089} din -250.

$$x=\frac{-10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Împărțiți -250-10\sqrt{3089} la 64.

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Adunați 1925 la ambele părți ale ecuației.

$$32x^{2}+250x-1925-\left(-1925\right)=-\left(-1925\right)$$

Scăderea -1925 din el însuși are ca rezultat 0.

$$32x^{2}+250x=-\left(-1925\right)$$

Scădeți -1925 din 0.

$$32x^{2}+250x=1925$$

Se împart ambele părți la 32.

$$\frac{32x^{2}+250x}{32}=\frac{1925}{32}$$

Împărțirea la 32 anulează înmulțirea cu 32.

$$x^{2}+\frac{250}{32}x=\frac{1925}{32}$$

Reduceți fracția \frac{250}{32} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x=\frac{1925}{32}$$

Împărțiți \frac{125}{16}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{125}{32}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{125}{32} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{1925}{32}+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{125}{32} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{1925}{32}+\frac{15625}{1024}$$

Adunați \frac{1925}{32} cu \frac{15625}{1024} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{77225}{1024}$$

Factor x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{77225}{1024}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77225}{1024}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{125}{32}=\frac{5\sqrt{3089}}{32} x+\frac{125}{32}=-\frac{5\sqrt{3089}}{32}$$

Scădeți \frac{125}{32} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$