Rezolvați 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 31, b cu -3 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Înmulțiți -4 cu 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Adunați 9 cu -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Înmulțiți 2 cu 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{115} din 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Se împart ambele părți la 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Împărțirea la 31 anulează înmulțirea cu 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Împărțiți -\frac{3}{31}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{62}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{62} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{62} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Adunați -\frac{1}{31} cu \frac{9}{3844} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Adunați \frac{3}{62} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$