Rezolvați 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 3384 din ambele părți.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 7x^{2}+ax+bx-1128. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-84 b=94$$

Rescrieți 7x^{2}+10x-1128 ca \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Factor 7x în primul și 94 în al doilea grup.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Scădeți 3384 din ambele părți ale ecuației.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Scăderea 3384 din el însuși are ca rezultat 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 21, b cu 30 și c cu -3384 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Înmulțiți -4 cu 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Înmulțiți -84 cu -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Adunați 900 cu 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Înmulțiți 2 cu 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±534}{42} atunci când ± este plus. Adunați -30 cu 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Împărțiți 504 la 42.

$$x=12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±534}{42} atunci când ± este minus. Scădeți 534 din -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Reduceți fracția \frac{-564}{42} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Se împart ambele părți la 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Împărțirea la 21 anulează înmulțirea cu 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Reduceți fracția \frac{30}{21} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Reduceți fracția \frac{3384}{21} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Împărțiți \frac{10}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{7}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Adunați \frac{1128}{7} cu \frac{25}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Factor x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Scădeți \frac{5}{7} din ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$