Rezolvați 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 225 cu t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Scădeți 225t^{2} din ambele părți.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Scădeți 4500t din ambele părți.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Combinați 30t cu -4500t pentru a obține -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Scădeți 22500 din ambele părți.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -225, b cu -4470 și c cu -22500 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Ridicați -4470 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Înmulțiți 900 cu -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Adunați 19980900 cu -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Opusul lui -4470 este 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} atunci când ± este plus. Adunați 4470 cu 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Împărțiți 4470+30i\sqrt{299} la -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} atunci când ± este minus. Scădeți 30i\sqrt{299} din 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Împărțiți 4470-30i\sqrt{299} la -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 225 cu t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Scădeți 225t^{2} din ambele părți.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Scădeți 4500t din ambele părți.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Combinați 30t cu -4500t pentru a obține -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Se împart ambele părți la -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Împărțirea la -225 anulează înmulțirea cu -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Reduceți fracția \frac{-4470}{-225} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Împărțiți 22500 la -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Împărțiți \frac{298}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{149}{15}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{149}{15} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{149}{15} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Adunați -100 cu \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Factor t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Scădeți \frac{149}{15} din ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$