Rezolvați 30t+2t^2=300

$$30 t + 2 t ^ { 2 } = 300$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{5 \sqrt{33} - 15}{2} \approx 6,861406616$$

$$t=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}\approx -21,861406616$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2t^{2}+30t=300$$

Scădeți 300 din ambele părți ale ecuației.

$$2t^{2}+30t-300=300-300$$

Scăderea 300 din el însuși are ca rezultat 0.

$$2t^{2}+30t-300=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 30 și c cu -300 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 2\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 2\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900-8\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -300.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900+2400}}{2\times 2}$$

Adunați 900 cu 2400.

$$t=\frac{-30±\sqrt{3300}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3300.

$$t=\frac{-30±10\sqrt{33}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$t=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4} atunci când ± este plus. Adunați -30 cu 10\sqrt{33}.

$$t=\frac{10\sqrt{33}-30}{4}$$

Împărțiți -30+10\sqrt{33} la 4.

$$t=\frac{5\sqrt{33}-15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 10\sqrt{33} din -30.

$$t=\frac{-10\sqrt{33}-30}{4}$$

Împărțiți -30-10\sqrt{33} la 4.

$$t=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} t=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}+30t=300$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2t^{2}+30t}{2}=\frac{300}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$t^{2}+\frac{30}{2}t=\frac{300}{2}$$

Împărțiți 30 la 2.

$$t^{2}+15t=\frac{300}{2}$$

Împărțiți 300 la 2.

$$t^{2}+15t=150$$

Împărțiți 15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+15t+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=150+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+15t+\frac{225}{4}=150+\frac{225}{4}$$

Adunați 150 cu \frac{225}{4}.

$$t^{2}+15t+\frac{225}{4}=\frac{825}{4}$$

Factor t^{2}+15t+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{825}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{825}{4}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{33}}{2} t+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{33}}{2}$$

Scădeți \frac{15}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} t=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$