Rezolvați 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1,833333333+2,153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1,833333333-2,153807997i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

Scădeți -24 din 0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 11 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

Adunați 121 cu -288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{167} din -11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

Împărțiți -24 la 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

Împărțiți \frac{11}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

Adunați -8 cu \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

Scădeți \frac{11}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$