Rezolvați 3y^2-y-4=0

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3y^{2}+ay+by-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-4 b=3$$

Rescrieți 3y^{2}-y-4 ca \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

Scoateți factorul comun y din 3y^{2}-4y.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Scoateți termenul comun 3y-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3y-4=0 și y+1=0.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -1 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -4.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Adunați 1 cu 48.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{1±7}{6} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 7.

$$y=\frac{8}{6}$$

Reduceți fracția \frac{8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{1±7}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Împărțiți -6 la 6.

$$y=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$3y^{2}-y=4$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Împărțiți -\frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{4}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Factor y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Adunați \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$