Rezolvați 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1,369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1,70325741$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 1 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Adunați 1 cu 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{85} din -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Împărțiți \frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{7}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Factor y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

Scădeți \frac{1}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$