Rezolvați 3y^2+13y-10

$$3 y ^ { 2 } + 13 y - 10$$

Descompunere în factori

$$\left(3y-2\right)\left(y+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3y^{2}+ay+by-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=-2 b=15$$

Rescrieți 3y^{2}+13y-10 ca \left(3y^{2}-2y\right)+\left(15y-10\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(15y-10\right)$$

Factor y în primul și 5 în al doilea grup.

$$y\left(3y-2\right)+5\left(3y-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3y-2\right)\left(y+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$3y^{2}+13y-10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-12\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -10.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2\times 3}$$

Adunați 169 cu 120.

$$y=\frac{-13±\sqrt{289}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$y=\frac{-13±17}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$y=\frac{-13±17}{6}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-13±17}{6} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 17.

$$y=\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-13±17}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -13.

$$y=-\frac{30}{6}$$

Împărțiți -30 la 6.

$$y=-5$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{2}{3} și x_{2} cu -5.

$$3y^{2}+13y-10=3\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-5\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$3y^{2}+13y-10=3\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+5\right)$$

Scădeți \frac{2}{3} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$3y^{2}+13y-10=3\times \frac{3y-2}{3}\left(y+5\right)$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 3 și 3.

$$3y^{2}+13y-10=\left(3y-2\right)\left(y+5\right)$$

Evaluați

$$\left(3y-2\right)\left(y+5\right)$$