Rezolvați 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x-y=2$$

Adunați y la ambele părți ale ecuației.

$$3x=y+2$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{2+y}{3} în cealaltă ecuație, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Înmulțiți 2 cu \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Adunați \frac{2y}{3} cu -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Scădeți \frac{4}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Se înmulțesc ambele părți cu -3.

$$y=-5$$

Înlocuiți y cu -5 în x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} cu -\frac{5}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1,y=-5$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-1,y=-5$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Scădeți pe 2x-y=3 din 3x-y=2 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Adunați -y cu y. Termenii -y și y se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$3x-2x=2-3$$

Adunați 3x cu -2x.

$$x=2-3$$

Adunați 2 cu -3.

$$x=-1$$

Înlocuiți x cu -1 în 2x-y=3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$-2-y=3$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$-y=5$$

Se împart ambele părți la -1.

$$y=-5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1,y=-5$$