Rezolvați 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x-5y=4$$

Adunați 5y la ambele părți ale ecuației.

$$3x=5y+4$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{5y+4}{3} în cealaltă ecuație, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Înmulțiți 9 cu \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Adunați 15y cu -2y.

$$13y+12=7$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$13y=-5$$

Se împart ambele părți la 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Înlocuiți y cu -\frac{5}{13} în x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Înmulțiți \frac{5}{3} cu -\frac{5}{13} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Adunați \frac{4}{3} cu -\frac{25}{39} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), astfel încât ecuația matricei poate fi rescrisă ca problemă de înmulțire a matricei.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Pentru a egala 3x și 9x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 9 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Simplificați.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Scădeți pe 27x-6y=21 din 27x-45y=36 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Adunați 27x cu -27x. Termenii 27x și -27x se reduc prin eliminare, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-45y+6y=36-21$$

Adunați -45y cu 6y.

$$-39y=36-21$$

Adunați 36 cu -21.

$$-39y=15$$

Se împart ambele părți la -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Înlocuiți y cu -\frac{5}{13} în 9x-2y=7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Înmulțiți -2 cu -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Scădeți \frac{10}{13} din ambele părți ale ecuației.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Se împart ambele părți la 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$