Rezolvați 3x-2y=14text{and}2x+2y=6

$$3 x - 2 y = 14 \text { and } 2 x + 2 y = 6$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x-2y=14$$

Adunați 2y la ambele părți ale ecuației.

$$3x=2y+14$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+14\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu 14+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{14+2y}{3} în cealaltă ecuație, 2x+2y=6.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}\right)+2y=6$$

Înmulțiți 2 cu \frac{14+2y}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}+2y=6$$

Adunați \frac{4y}{3} cu 2y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=6$$

Scădeți \frac{28}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{10}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{14}{3}$$

Înmulțiți \frac{2}{3} cu -1.

$$x=\frac{-2+14}{3}$$

Adunați \frac{14}{3} cu -\frac{2}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=4,y=-1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{5}\times 6\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{3}{10}\times 6\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=4,y=-1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Pentru a egala 3x și 2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 14,3\times 2x+3\times 2y=3\times 6$$

Simplificați.

$$6x-4y=28,6x+6y=18$$

Scădeți pe 6x+6y=18 din 6x-4y=28 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$6x-6x-4y-6y=28-18$$

Adunați 6x cu -6x. Termenii 6x și -6x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-4y-6y=28-18$$

Adunați -4y cu -6y.

$$-10y=28-18$$

Adunați 28 cu -18.

$$-10y=10$$

Se împart ambele părți la -10.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în 2x+2y=6. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$2x+2\left(-1\right)=6$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$2x-2=6$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$2x=8$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=4,y=-1$$