Rezolvați 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combinați 3x cu 10x pentru a obține 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=10 b=3$$

Rescrieți -2x^{2}+13x-15 ca \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Factor 2x în primul și -3 în al doilea grup.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Scoateți termenul comun -x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+5=0 și 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combinați 3x cu 10x pentru a obține 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 13 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 169 cu -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±7}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±7}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Împărțiți -20 la -4.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Combinați 3x cu 10x pentru a obține 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Adăugați 15 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$13x-2x^{2}=15$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Împărțiți 13 la -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Împărțiți 15 la -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Împărțiți -\frac{13}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Adunați -\frac{15}{2} cu \frac{169}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adunați \frac{13}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$