Rezolvați 3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

Rezolvați pentru x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+1 cu y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Pentru a găsi opusul lui ky+y, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x-ky-y=20$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+2 cu x.

$$kx+2x-10y=40$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Adunați \left(k+1\right)y la ambele părți ale ecuației.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{yk+y+20}{3} în cealaltă ecuație, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Înmulțiți k+2 cu \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Adunați \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} cu -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Scădeți \frac{40+20k}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Se împart ambele părți la \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Înlocuiți y cu -\frac{20}{7+k} în x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Înmulțiți \frac{k+1}{3} cu -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Adunați \frac{20}{3} cu -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+1 cu y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Pentru a găsi opusul lui ky+y, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x-ky-y=20$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+2 cu x.

$$kx+2x-10y=40$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+1 cu y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Pentru a găsi opusul lui ky+y, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x-ky-y=20$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+2 cu x.

$$kx+2x-10y=40$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Pentru a egala 3x și \left(k+2\right)x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu k+2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Simplificați.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Scădeți pe \left(3k+6\right)x-30y=120 din \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Adunați 3\left(2+k\right)x cu -6x-3xk. Termenii 3\left(2+k\right)x și -6x-3xk se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Adunați -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y cu 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Adunați 20k+40 cu -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Se împart ambele părți la \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Înlocuiți y cu -\frac{20}{7+k} în \left(k+2\right)x-10y=40. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Înmulțiți -10 cu -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Scădeți \frac{200}{7+k} din ambele părți ale ecuației.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Se împart ambele părți la k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Rezolvați pentru x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+1 cu y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Pentru a găsi opusul lui ky+y, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x-ky-y=20$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+2 cu x.

$$kx+2x-10y=40$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Adunați \left(k+1\right)y la ambele părți ale ecuației.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{yk+y+20}{3} în cealaltă ecuație, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Înmulțiți k+2 cu \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Adunați \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} cu -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Scădeți \frac{40+20k}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Se împart ambele părți la \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Înlocuiți y cu -\frac{20}{7+k} în x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Înmulțiți \frac{k+1}{3} cu -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Adunați \frac{20}{3} cu -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+1 cu y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Pentru a găsi opusul lui ky+y, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x-ky-y=20$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+2 cu x.

$$kx+2x-10y=40$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+1 cu y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Pentru a găsi opusul lui ky+y, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x-ky-y=20$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Luați în considerare a doua ecuație. Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți k+2 cu x.

$$kx+2x-10y=40$$

Combinați toți termenii care conțin x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Pentru a egala 3x și \left(k+2\right)x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu k+2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Simplificați.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Scădeți pe \left(3k+6\right)x-30y=120 din \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Adunați 3\left(2+k\right)x cu -6x-3xk. Termenii 3\left(2+k\right)x și -6x-3xk se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Adunați -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y cu 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Adunați 20k+40 cu -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Se împart ambele părți la \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Înlocuiți y cu -\frac{20}{7+k} în \left(k+2\right)x-10y=40. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Înmulțiți -10 cu -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Scădeți \frac{200}{7+k} din ambele părți ale ecuației.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Se împart ambele părți la k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$