Rezolvați 3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5,333333333$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x cu x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-4x+4, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combinați 6x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combinați 6x cu 4x pentru a obține 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Adunați -2 și 30 pentru a obține 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combinați 5x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Scădeți 28 din ambele părți.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Scădeți 28 din -4 pentru a obține -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-32. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-6 b=16$$

Rescrieți 3x^{2}+10x-32 ca \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

Factor 3x în primul și 16 în al doilea grup.

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și 3x+16=0.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x cu x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-4x+4, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combinați 6x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combinați 6x cu 4x pentru a obține 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Adunați -2 și 30 pentru a obține 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combinați 5x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Scădeți 28 din ambele părți.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Scădeți 28 din -4 pentru a obține -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 10 și c cu -32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -32.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

Adunați 100 cu 384.

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 484.

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±22}{6} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 22.

$$x=\frac{12}{6}$$

Împărțiți 12 la 6.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±22}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 22 din -10.

$$x=-\frac{32}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-32}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x cu x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-4x+4, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combinați 6x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Combinați 6x cu 4x pentru a obține 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Adunați -2 și 30 pentru a obține 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Combinați 5x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$3x^{2}+10x=28+4$$

Adunați 28 și 4 pentru a obține 32.

$$3x^{2}+10x=32$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

Împărțiți \frac{10}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

Adunați \frac{32}{3} cu \frac{25}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

Scădeți \frac{5}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$