Rezolvați 3x^2-9x-84=0?

$$3 x ^ { 2 } - 9 x - 84 = 0 ?$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-28. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-7 b=4$$

Rescrieți x^{2}-3x-28 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-9x-84=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -9 și c cu -84 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Adunați 81 cu 1008.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1089.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\times 3}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±33}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{9±33}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±33}{6} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 33.

$$x=\frac{42}{6}$$

Împărțiți 42 la 6.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±33}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 33 din 9.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Împărțiți -24 la 6.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-9x-84=0$$

Adunați 84 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-9x-84-\left(-84\right)=-\left(-84\right)$$

Scăderea -84 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-9x=-\left(-84\right)$$

Scădeți -84 din 0.

$$3x^{2}-9x=84$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{3}\right)x=\frac{84}{3}$$

Împărțiți -9 la 3.

$$x^{2}-3x=\frac{84}{3}$$

Împărțiți 84 la 3.

$$x^{2}-3x=28$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Adunați 28 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-4$$