Rezolvați 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -8 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Adunați 64 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Împărțiți 8+2\sqrt{19} la 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{19} din 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Împărțiți 8-2\sqrt{19} la 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Adunați \frac{1}{3} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Adunați \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$