Rezolvați 3x^2-7x-6=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x - 6 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=3\left(-6\right)=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-9 b=2$$

Rescrieți 3x^{2}-7x-6 ca \left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și 3x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -7 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 3}$$

Adunați 49 cu 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 3}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{7±11}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±11}{6} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 11.

$$x=\frac{18}{6}$$

Împărțiți 18 la 6.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±11}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 7.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-7x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Scăderea -6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-7x=-\left(-6\right)$$

Scădeți -6 din 0.

$$3x^{2}-7x=6$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{6}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{6}{3}$$

Împărțiți 6 la 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=2$$

Împărțiți -\frac{7}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=2+\frac{49}{36}$$

Adunați 2 cu \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{121}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{11}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{11}{6}$$

Adunați \frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$